CatenariaLab: parte il terzo step del progetto didattico " Ludendo docere "

 

Introduzione

La catenaria è una curva “celebre” della matematica e della fisica: è la forma assunta da una fune (o catena), ideale, omogenea, inestensibile, appesa ai suoi estremi e sottoposta unicamente al proprio peso (in un campo gravitazionale uniforme).
La forma è simile a una parabola, e spesso viene confusa con essa, ma ha caratteristiche e proprietà distinte. In un contesto didattico o di problem solving, specie come nell’esempio che hai citato della bicicletta a ruote quadrate, la catenaria entra in gioco perché offre un profilo “ottimale” per determinate condizioni meccaniche.

L’equazione più nota della catenaria è:

$$y = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right) = \frac{a}{2}\left(e^{\frac{x}{a}} + e^{-\frac{x}{a}}\right),$$

dove $a > 0$ è un parametro che ne “modula” l’apertura (più $a$ è grande, più la curva è “larga” e poco pronunciata).
Questa è la versione standard quando il punto minimo della curva è all’origine, con $x = 0$.
In generale si possono avere traslazioni orizzontali e verticali.

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Cenni storici

Le prime idee: Galileo e la parabola

Nel 1638, nel suo Discorsi e dimostrazioni intorno a due nuove scienze, Galileo affronta il problema della forma di una fune appesa. Egli osserva che la curva assomiglia molto a una parabola, e in effetti per fessure e tratti limitati la forma di una fune appare quasi parabolica. Tuttavia, Galileo stesso si cura in quel testo di segnalare che la «somiglianza» non significa identità: nei punti “più tesi” e meno curvi la differenza è piccola e quasi non percepibile. www2.caminos.upm.es+3Wikipedia+3Maths History+3
Per un lungo periodo, molti pensarono che la parabola fosse la curva esatta, per la sua semplicità e per analogie osservabili.

La confutazione e il problema “della catena”

Intorno al XVII secolo, alcuni matematici cominciarono a mettere in dubbio la “parabola”. Già Jungius (1669) dimostrò che la fune sospesa non segue una parabola. Maths History+2Academia+2
Il problema fu rilanciato da Jakob Bernoulli che, attorno al 1690, propose a Leibniz, Huygens e suo fratello Johann Bernoulli la sfida di trovare l’equazione della curva-catena. Encyclopedia Britannica+3Maths History+3Academia+3
Christiaan Huygens fu il primo a usare il termine “catenaria” in lettere (nel 1690) inviato a Leibniz. Maths History+2Academia+2
Nel 1691 Leibniz, Huygens e Johann Bernoulli pubblicarono – indipendentemente o in parallelo – la forma dell’equazione della catenaria come funzione del coseno iperbolico. Maths History+2archive.bridgesmathart.org+2
David Gregory nel 1690, poco prima, aveva già scritto un trattato sulla catenaria. Maths History+1

In seguito, altri contributi classici si susseguirono: Leonhard Euler (nel 1744) dimostrò che la rotazione di una catenaria attorno al suo asse produce il cosiddetto catenoide, che è una superficie di area minima (minimal surface) per dati parametri di vincolo. archive.bridgesmathart.org+3Maths History+3Encyclopedia Britannica+3
Anche Nicolas Fuss descrisse equazioni generali per catene sottoposte ad altre forze nel XVIII secolo. Encyclopedia Britannica+2archive.bridgesmathart.org+2

Nel corso del tempo, il termine “catenaria” e le sue variazioni (catenaria ponderata, catenaria di resistenza costante, ecc.) hanno iniziato ad apparire in trattazioni di architettura, ingegneria, fisica e matematica applicata.

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Caratteristiche matematiche

Alcune proprietà, formule e osservazioni tipiche:

• Non è un polinomio né una funzione algebrica: la sua equazione coinvolge esponenziali (o funzioni iperboliche).

• Le curve di forma diversa sono “simili”: cambiando il parametro $a$ si ottengono curve omotetiche.

• Derivando e usando la parametrizzazione per lunghezza d’arco, si ottiene che l’equazione differenziale soddisfatta è legata alla tangente dell’angolo della tangente alla curva:

  $$\tan \varphi = \frac{s}{a},$$

  dove $s$ è la lunghezza d’arco misurata dal punto minimo. Maths History+3Encyclopedia Britannica+3archive.bridgesmathart.org+3

• La curvatura $\kappa$ in funzione di $s$ può essere espressa come

  $$\kappa = \frac{a}{s^2 + a^2}.$$

• Il raggio della curvatura è $\rho = a \sec^2 \varphi$.

• Un’altra proprietà elegante: la catenaria è l’evoluta della tractrice, e ha altre relazioni geometriche di rilievo. Maths History+2Academia+2

• Quando viene ruotata attorno all’asse, la superficie generata è un catenoide, una delle poche superfici minimali di rivoluzione (ossia con area locale minima) per condizioni date. Encyclopedia Britannica+3Maths History+3archive.bridgesmathart.org+3

Una variante importante è la catenaria ponderata (o catenaria con peso variabile), dove la densità per lunghezza non è costante: questo modifica l’equazione differenziale e porta a curve leggermente diverse, utili in applicazioni reali dove la densità della catena o del cavo non è uniforme. Academia+1

Un’altra variante è la catenaria di resistenza uniforme (equal resistance catenary), in cui si cerca che la tensione massima sia distribuita uniformemente lungo la catena, utile per cavi soggetti a carichi esterni o condizioni ingegneristiche speciali. archive.bridgesmathart.org+1

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Applicazioni e curiosità

In architettura e ingegneria

• Un arco a forma capovolta di catenaria (cioè rovesciata) è ideale per sostenere il proprio peso: la linea d’azione della compressione coincide con la forma dell’arco, minimizzando forze di flessione laterale. Encyclopedia Britannica+2archive.bridgesmathart.org+2

• Il famoso Gateway Arch di St. Louis (USA) ha una forma che è spesso descritta tramite una variante di catenaria (in particolare $y = A \cdot \cosh(Bx)$). Wikipedia

• Molti archi storici, volte e strutture gotiche o rinascimentali sembrano “quasi catenarie”. Anche se non sempre realizzati matematicamente con la formula $a \cosh(x/a)$, spesso l’equilibrio delle forze segue una linea simile a quella della catenaria. Encyclopedia Britannica+3Academia+3archive.bridgesmathart.org+3

• Nel design di ponti sospesi, i cavi portanti assumono la forma di catenarie se considerano solo il peso proprio del cavo; se invece si considera carico distribuito sul ponte, la forma ideale è più vicina a un arco parabolico, ma per tensioni elevate la differenza diventa piccola. archive.bridgesmathart.org+2Encyclopedia Britannica+2

• Nelle reti elettriche aeree, i fili tra pali assumono una forma simile a catenarie (dipendendo da peso del filo e tensione).

Nella didattica, arte, design

• La catenaria è un bell’esempio di connessione tra matematica “pura” e forma reale nel mondo fisico — spesso viene usata per far comprendere come il calcolo differenziale, le funzioni esponenziali e le iperboliche emergano da un modello fisico semplice. archive.bridgesmathart.org+1

• Artisti e scultori hanno usato la catenaria per forme estetiche e strutturali, specie in sculture minimaliste, tensostrutture, installazioni con fili e cavi sospesi. archive.bridgesmathart.org+2Academia+2

• Un’idea didattica: se “inverto” una catena sospesa (cioè la capovolgo), ottengo una forma che in teoria resiste a compressione — è il famoso motto di Robert Hooke: “Ut pendet continuum flexile, sic stabit contiguum rigidum inversum” (come pende una catena flessibile, capovolta starà rigida). plus.maths.org+2archive.bridgesmathart.org+2

Connessioni matematiche avanzate e recenti

• In geometria differenziale e teoria delle superfici, la catenaria è connessa al concetto di minimale (come nel catenoide) e alle equazioni variazionali (energia potenziale minima).

• In spazi curvi o in contesti non euclidei, si definiscono versioni di “catenarie esterne” (extrinsic catenaries) e si studiano le loro proprietà, per estendere il concetto oltre la geometria piana. arXiv

• In fisica teorica, il modello “stringa” di alcuni oggetti estesi richiama analogie con la catenaria: ad esempio in modelli dinamici si possono studiare analogie fra catene flessibili e stringhe quantistiche. arXiv

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Collegamento al problema della bicicletta a ruote quadrate

L’idea che hai riportato è geniale: se si costruisce un percorso con “dossi” sagomati secondo degli archi di catenaria, la ruota poligonale (ad esempio quadrata) può “scorrere” meglio, mantenendo un movimento più regolare.

• I dossi non devono essere archi circolari (che avrebbero discontinuità nella derivata secondaria alle giunzioni) ma devono “scorrere” in una forma più dolce, che la catenaria fornisce.

• La tensione della “catenaria” dei dossi (cioè quanto sono “tesi” o “appiattiti”) dipende dal numero di lati del poligono (più lati → figura più vicina al cerchio → si richiede un profilo quasi piatto).

• Nel limite, quando il poligono ha infiniti lati, cioè è un cerchio, il profilo ottimale è una linea retta (una catenaria “completamente tesa”, cioè praticamente piana), perché la ruota già è circolare e non necessita di “ondulazioni”.

Questa intuizione sfrutta la natura fisica della catenaria: la sua forma genera un equilibrio di forze “dolce” che facilita il movimento senza scatti bruschi.

La catenaria: dalla storia alla bicicletta a ruote quadrate

Introduzione

La catenaria è una curva matematica affascinante, spesso confusa con la parabola, che descrive la forma di una fune omogenea sospesa ai suoi estremi e soggetta solo al proprio peso. Questa curva non solo ha un grande valore teorico, ma trova applicazioni sorprendenti, come nel caso della bicicletta a ruote quadrate esposta al MoMath – Museum of Mathematics di New York.

L’equazione della catenaria

La forma della catenaria si esprime con il coseno iperbolico:

$y = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right)$

dove $a > 0$ regola l’“apertura” della curva. Più grande è $a$, più la catenaria risulta larga e poco curva.

Cenni storici

• 1638 – Galileo Galilei: osserva che la curva di una catena sospesa somiglia a una parabola, ma non è esattamente tale.

• 1669 – Jungius: dimostra che la parabola non è la curva giusta.

• 1690 – Johann Bernoulli: lancia una sfida ai matematici per trovare l’equazione della catena.

• 1690 – Christiaan Huygens: introduce il termine “catenaria” in una lettera a Leibniz.

• 1691 – Leibniz, Huygens e Johann Bernoulli: danno la soluzione corretta usando il coseno iperbolico.

• XVIII secolo – Euler: mostra che la rotazione della catenaria genera il catenoide, una superficie di area minima.

Proprietà matematiche

• La catenaria non è una parabola ma una funzione iperbolica.

• Curve con parametri diversi sono simili tra loro.

• Capovolta, diventa la forma ideale per un arco che regge il proprio peso senza forze laterali (principio sfruttato in architettura).

Applicazioni

Architettura e ingegneria

• Archi catenari rovesciati sostengono in modo ottimale il proprio peso.

• Il Gateway Arch di St. Louis è un famoso esempio di catenaria architettonica.

• I cavi di ponti sospesi e i fili elettrici pendono secondo curve simili a catenarie.

Didattica e arte

• La catenaria è usata per mostrare la connessione tra matematica e realtà fisica.

• Robert Hooke la descrisse con la frase: “Ut pendet continuum flexile, sic stabit contiguum rigidum inversum” (come pende una catena flessibile, così starà rigido un arco rovesciato).

Bicicletta a ruote quadrate

Al MoMath di New York è possibile pedalare su una bicicletta con ruote quadrate: i dossi della pedana sono sagomati come archi di catenaria. Questo garantisce che il movimento sia regolare:

• Ruote quadrate: richiedono catenarie “poco tese” e ravvicinate.

• Ruote poligonali con più lati: funzionano meglio su catenarie più tese.

• Ruota circolare (infiniti lati): scorre su una superficie piana, cioè una catenaria “completamente tesa”.

Conclusione

La catenaria è un esempio perfetto di come una semplice osservazione fisica – una catena che pende – porti a una teoria matematica ricca e ad applicazioni che spaziano dall’architettura alla didattica, fino al divertimento scientifico. È la dimostrazione che matematica e realtà sono legate da curve sorprendenti.

Maturità 2017 - Liceo Scientifico
Problema 1: Bicicletta a ruote quadrate

Si può pedalare agevolmente su una bicicletta a ruote quadrate? A New York, al MoMath‑Museum of Mathematics si può fare, in uno dei padiglioni dedicati al divertimento matematico (figura 1). È però necessario che il profilo della pedana su cui il lato della ruota può scorrere soddisfi alcuni requisiti.

In figura 2 è riportata una rappresentazione della situazione nel piano cartesiano Oxy: il quadrato di lato DE = 2 (in opportune unità di misura) e di centro C rappresenta la ruota della bicicletta, il grafico della funzione f(x) rappresenta il profilo della pedana.

1) Sulla base delle informazioni ricavabili dal grafico in figura 2, mostra, con le opportune argomentazioni, che la funzione
   f(x) = (√2 − e^x + e^(−x)) / 2,   x ∈ R
rappresenta adeguatamente il profilo della pedana per x ∈ [−a, a]; determina inoltre il valore degli estremi a e −a dell’intervallo.

2) Perché la bicicletta possa procedere agevolmente sulla pedana è necessario che:
   • a sinistra e a destra dei punti di non derivabilità i tratti del grafico siano ortogonali;
   • la lunghezza del lato della ruota quadrata risulti pari alla lunghezza di una 'gobba', cioè dell’arco di curva di equazione y = f(x) per x ∈ [−a, a].
Stabilisci se tali condizioni sono verificate.

3) Considerando la similitudine dei triangoli rettangoli ACL e ALM in figura 4, e ricordando il significato geometrico della derivata, verifica che il valore dell’ordinata d del centro della ruota si mantiene costante durante il moto. Pertanto, al ciclista sembra di muoversi su una superficie piana.

Soluzione - Maturità 2017
Problema 1: Bicicletta a ruote quadrate

1) Verifica del profilo e determinazione di a

La funzione data è:
   f(x) = (√2 − e^x + e^(−x)) / 2.

Per verificarne la coerenza con il grafico osserviamo che è pari, continua e centrata nell’origine. Gli zeri della funzione si trovano risolvendo f(x) = 0, cioè:
   e^(2x) − 2√2 e^x + 1 = 0.
Ponendo t = e^x, si ottiene t = √2 ± 1.
Quindi gli estremi dell’intervallo sono:
   a = ln(√2 + 1),   −a = −ln(√2 + 1).

2) Condizioni per il moto agevole

(i) Nei punti di contatto agli estremi, le tangenti devono essere ortogonali.
La derivata è f′(x) = −(e^x + e^(−x))/2 = −cosh(x).
Calcolando:
   f′(−a) = 1,   f′(a) = −1.
Il prodotto dei coefficienti angolari è −1, quindi le tangenti sono perpendicolari.

(ii) La lunghezza dell’arco tra −a e a deve essere uguale al lato della ruota (2).
La lunghezza dell’arco è:
   L = ∫[−a,a] √(1 + (f′(x))^2) dx.
Per simmetria:
   L = 2 ∫[0,a] √(1 + cosh^2(x)) dx.
Con un opportuno cambio di variabile si ottiene:
   L = e^a − e^(−a).
Sostituendo a = ln(√2 + 1):
   L = (√2 + 1) − (√2 − 1) = 2.
Quindi la condizione è verificata.

3) Costanza dell’ordinata del centro

Considerando la similitudine dei triangoli ACL e ALM si ottiene la relazione:
   d − f(x) = √(1 + (f′(x))^2).
Da cui:
   d = f(x) + √(1 + (f′(x))^2).
Sostituendo f(x) e f′(x), si verifica che questa somma è sempre uguale a 2.
Pertanto l’ordinata d del centro della ruota è costante e vale 2. Il ciclista percepisce quindi di muoversi su una superficie piana.

Risultati finali

• Intervallo del profilo: [−a, a] con a = ln(√2 + 1).
• Le tangenti agli estremi sono perpendicolari.
• La lunghezza dell’arco è 2, cioè uguale al lato della ruota.
• L’ordinata del centro è costante e vale 2.